一、圆的基本概念（名称、定义和元素）
1、实验：
取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕着固定的一端旋转一周。
2、发现：
绳子长度、绳子的一端固定不变，绳子的另一端在绕着它（固定不变）做圆周运动，即旋转一周。
3、概念：
①我们把绳子的一端绕着另一端（固定不变）旋转后所得到的封闭曲线叫做圆，定点O（另一端的端点)叫做圆心（1个）,定长绳子叫做半径（无数条），用r"表示。以点O为圆心的圆，记作⊙O，读做圆O。
②连结圆上任意两点的线段叫做弦（无数条），经过圆心的弦（最长的直径）叫做直径（无数条），直径是半径的两倍。
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧（无数条），简称弧，用符号◠表示。圆的任意一条直径的两个端点把圆划分成两条弧，每一条都叫做半圆，小于半圆的圆弧叫做劣弧，大于半圆的圆弧叫做优弧。半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆，能够完全重合的圆弧称为相等的弧。
④一般地，r为圆的半径，d为同一平面内任意一点P到圆心的距离，则有以下关系：
（1）d＞r⇔点在圆外
（2）d=r⇔点在圆上
（3）d＜r⇔点在圆内
⑤经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
⑥不在同一条直线上的三个点确定一个圆。（有且只有一个圆）
证明如下：（以下图为例）
分别作AB、AC、BC的中垂线（作两条也可以），交于O点，用圆规作以O点为圆心，以OA为半径的圆。
因为AB的中垂线垂直且平分AB，根据勾股定理可得，OA=OB，同理可得，OA=OC,OB=OC，所以，OA=OB=OC，满足圆的定义和性质，即A、B、C三点共圆，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
⊙O为△ABC的外接圆
二、图形的旋转
1、一般地，一个图形绕着自身的一个固定的点，按照一定的方向和角度旋转形成另一个一样的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。
2、性质：
①图形经过旋转所得到的图形与原图形全等。
②对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
③当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称。
④当图形旋转的角度为360°时，所得的图形和原图形重合。
三、垂径定理
1、性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
证明如下：（如图）
因为AB⊥CD，OA=OB，所以AE=BE（勾股定理），CD平分AB，所以AC=BC（三角形中垂线逆定理），AC、BC所对的弧长也相等。即：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（其中:圆心O点到弦AB的距离OE叫做弦心距，C点叫做弧AB的中点，D点叫做弧ADB的中点）
2、定理：
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
证明：（如上图）
因为CD平分AB，OA=OB，所以，△AOE≌△BOE，AB⊥CD，所以AC=BC（三角形中垂线逆定理），AC、BC所对的弧长也相等。即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
②平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
（证明：先证明△ACO≌△BCO，根据角平分线的性质可以得到，CD且垂直平分AB即：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。）
四、圆心角
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。（0°＜圆心角＜360°）
例如上图中：∠AOB就是圆心角等等。
2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（所对的弦心距也相等）（证明：可以利用旋转或者三角形全等的方法）
3、我们知道，圆周角为360°，如果用360条射线把圆等分，每相邻两条射线所成的圆心角为1°，于是，我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，……，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧。（n＞0）
4、在等圆或同圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
（证明：只要证明两个圆心角所在的三角形或者两个弦心距所在的三角形全等，即可推出其余结论）
五、圆周角
1、顶点在圆上，它是两边和圆相交的公共点，像这样的角叫做圆周角。（0°＜圆周角＜180°）
例如上图中：∠ACB就是圆周角等等。
2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
证明：（三种情况如下图）
①∠AOC=2∠ABC（圆心在圆周角的一边上时）
因为在⊙O中，OB=OC，所以∠ABC=∠OCB
又因为∠AOC=∠ABC+∠OCB，
所以∠AOC=2∠ABC。
②∠AOC=2∠AEC（圆心在圆周角内部时）
连接EO，延长交⊙O于F。
根据①的结论可以得到，∠AOF=2∠AEF，∠COF=2∠CEF。
所以，∠AOC=∠AOF+∠COF=2（∠AEF+∠CEF）。
所以，∠AOC=2∠AEC。
③∠AOC=2∠ADC（圆心在圆周角外部时）
连接DO延长交圆于G。
根据①的结论可以得到，∠COG=2∠CDG，∠AOG=2∠ADG。
所以∠ADC=∠ADG-∠CDG=1/2（∠AOG-∠COG），
所以∠AOC=2∠ADC。
3、圆周角定理推论：
①半圆（或直径）所对的圆周角是直角。（半圆/直径的圆心角是平角为180°）
②90°的圆周角所对的弦是直径。（圆心角为180°是平角）
③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。（圆心角定理的推论+圆周角的定理）
六、圆内接四边形
1、如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
2、性质定理：圆内接四边形的对角互补。
证明：（如图）
圆内接四边形ABDC
因为∠A=∠BOC/2，∠D=1/2（360°-∠BOC）=180°-∠BOC/2（圆周角定理）
所以，∠A+∠D=∠BOC/2+180°-∠BOC/2=180°，同理可得，∠B+∠C=180°。
所以，圆内接四边形的对角互补。
七、正多边形
1、我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形，经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形。（任何正多边形都有一个外接圆）
例如：等边三角形、正方形等等。
八、弧长及扇形面积
1、弧长：
设半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l（R、n、l＞0）。
因为圆的周长为2兀R,1°的圆心角所对的弧长为1∙2兀R/360，
所以，，n°的圆心角所对的弧长为l=n∙2兀R/360=n∙兀R/180。
弧长公式：l=n∙兀R/180。
2、扇形面积：
设半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积为S（R、n、l、S＞0）
因为圆的面积为兀R^2，1°的圆心角所对的扇形面积为1∙兀R^2/360，
所以，n°的圆心角所对的扇形面积为S=n∙兀R^2/360，
又因为弧长公式：l=n∙兀R/180，所以S=lR/2，
扇形面积：S=n∙兀R^2/360=lR/2。
利用圆可以解决生活、生产中的很多问题
