柱体、椎体、台体的表面积和体积

圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱的侧面展开图是一个矩形。如果圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，那么圆柱的底面面积为 πr²，侧面面积为 2πrl 。圆柱的表面积为

S = 2 π r² + 2 π r l= 2 π r ( r + l )

圆柱和圆锥展开图

圆锥的侧面展开图是一个扇形。如果圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，圆锥的表面积为

S = π r ² + π r l = π r ( r + l )

圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即

S = π ( r² + r² + rl+ r l )

圆台展开图

柱体、锥体与台体的体积

柱体的体积为V = S h

锥体(圆锥和棱锥)的体积为同低等高的柱体(圆柱和棱柱)的三分之一，即

椎体的体积公式

台体的体积为

台体的体积公式

球的体积和表面积

设球的半径为R，它的体积是以R为自变量的函数。

球的体积

球的表面积S也是以R为自变量的函数。

球的表面积

证明题

祖暅原理与柱体、椎体、台体及球体的体积

祖暅原理 : 幂势既同，则积不容异。 幂 即面积， 势 即高，这原理是说，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那这两个几何体的体积一定相等。

祖暅原理

根据祖暅原理可推导出，等底面积等高的两个椎体的体积相等。

用祖暅原理推导几何体的体积公式

设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体(或柱体)，使它们的底面在同一平面内。根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等。

① ②

根据图 ② 可得三棱锥的体积等于棱柱体积的三分之一。

椎体的体积公式

应用祖暅原理研究半球(半径为R)的体积计算:

设平行于大圆且与大圆的距离为 ι 的平面截半球所得圆面的半径为 r，r = √( R²-ι² )，于是截面面积

S1 = π r² =π (R²-ι²) = πR² - πι²

S1 可以看成是在半径为 R 的圆面上挖去一个半径为 l 的同心圆，所得圆环的面积。

半圆的体积研究

取一个底面半径和高均为 R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上。用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，圆环大圆半径为 R ，小圆半径为 ι，则面积S2 = πR²-πι²=π (R²-ι²)，则 S1 = S2 。根据祖距原理，这两个几何体体积相等。

球的体积