圆是几何题的重要考点，在中考中几乎年年出现！但是得分率却不高，因为复杂、难。下面我们分享一下圆的6种解题场景。用例题的方式来让进行对比、归类，从而形成自己在某一章节的常规解题武器。这是我们揭示圆解题规律的一个初衷。好的分享及反思，配上你的坚持，我相信你一定有收获！
第一种场景：遇到弦。
轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．
例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F
（1）求证：FC＝FB；
（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．
【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．
（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，
OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，
解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．
【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．
第二种场景：遇到直径。
当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．
（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；
（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；
（2）作点D关于BC的对称点D，利用对称的性质和圆周角定理解答即可．
【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，
∵点D恰好与点O重合，
∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝1/2∠COD＝30°；
故答案为：30；
（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：
作点D关于BC的对称点D，连接CD，BD，
∵对称，∴∠DBC＝∠DBC，DC＝DC，连接CO，DO，AC，
∴∠AOC＝2∠ABC，∠DOC＝2∠DBC，
∴∠AOC＝∠DOC，∴AC＝DC，
∵DC＝DC，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，
设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，
∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．
【点评】此题考查圆周角的定理，关键是根据折叠的性质和圆周角定理解答．
第三种场景：遇到切线。
切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。一般如果题目给出有切线，那么我们可以考虑添加过切点的半径，进而连结圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，从而使用勾股定理解出一些边角关系。
例3．（2018秋•海淀区期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．
（1）求证：PC＝PF；
（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3√2，tanP＝3/4，求FB的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可知∠EFA＝∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；
（2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3√2，从而可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以BG/PG=3/4，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
【解答】（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，
∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，
∵∠EFA＝CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；
（2）过点B作BG⊥PC于点G，
∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3√2，∴OB＝3，
∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，
∵tanP＝3/4，∴BG/PG=3/4，∴PG＝4，
∴由勾股定理可知：PB＝5，
∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识．
第四种场景:遇到相交切线(切线长定理)，
这个和上面的切线有点类似，碰到这种特殊的情况，我们常常更多会考虑连结圆心和切点，或者连结圆心和圆外的一点，或者按需求连结两切点。通过这几个不同的操作，我们可以得出一些特殊的三角形和边角关系，比如全等、相似、垂直、边角关系等等，非常好用。
例4.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．
（1）求边AD、BC的长；
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
【分析】过D作DF⊥BC于F，设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，根据勾股定理就到一个关于x的方程，就可以解得AD的长；△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长．
【解答】（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，
∴DC²＝6 ²+8 ²＝100，即DC＝10．
设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，
∴x+（x+6）＝10．
∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8．
方法2：连OD、OE、OC，
由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，
设AD＝x，则BC＝x+6，
由射影定理可得：OE2＝DE•EC．即：x（x+6）＝16，
解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）,∴AD＝2，BC＝2+6＝8．
（2）存在符合条件的P点．
设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
①△ADP∽△BCP时，有AD/BC=AP/PB,即2/8=y/8-y,∴y＝8/5；
②△ADP∽△BPC时，有AD/BP=AP/BC,即2/8-y=y/8,∴y＝4．
故存在符合条件的点P，此时AP＝8/5或4．
第五种场景：三角形内切圆。
一般碰到这个场景我们会作以下辅助线：过圆心作三角形各边的垂线段或者连结圆心到各三角形顶点，思路同样是构造特殊的边角关系和三角形。这里有两个非常重要的性质必须清楚记得：1、圆心到三角形顶点的连线是角平分线；2、圆心到三角形三边的距离相等。
例5．（2019•武汉模拟）如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
（1）∠AOC＝______；
（2）若NC＝3，BC＝2√5，求DM的长．
【分析】（1）只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
（2）由切线长定理可知：AM＝AE，DM＝DN，CN＝CE＝3，设DM＝DN＝x，AM＝AE＝y，在Rt△BDC中，根据BC²＝BD²+CD²，构建方程即可解决问题；
【解答】（1）如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON．
∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N，∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，∴OM＝OE，∴AC是⊙O的切线，
∵ON＝OE，ON⊥CD，OE⊥AC，∴OC平分∠ACD，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣1/2（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣45°＝135°．
（2）∵AD，CD，AC是⊙O的切线，M，N，E是切点，
∴AM＝AE，DM＝DN，CN＝CE＝3，设DM＝DN＝x，AM＝AE＝y，
∵AB＝AC，∴BD＝3﹣x，
在Rt△BDC中，∵BC²＝BD²+CD²，
∴20＝（3﹣x）²+（3+x）²，∴x＝1或﹣1（舍弃），∴DM＝1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．
第六种场景：三角形外接圆。如果是这种情况，一般我们会先构造一条直径，然后再根据题目的一些已知条件构造特殊的三角形和边角关系，从而求解。
例6．（2018秋•中山区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D．
（1）求证：∠PAC＝∠ABC；
（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝2√3，CD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AO延长AO交⊙O于点E，连接EC．想办法证明：∠B+∠EAC＝90°，∠PAC+∠EAC＝90°即可解决问题；
（2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．求出OM，根据CM2＝OC2﹣OM2＝CF2﹣FM2构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．
∵AE是直径，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠E＝90°，
∵∠B＝∠E，∴∠B+∠EAC＝90°，
∵PA是切线，∴∠PAO＝90°，∴∠PAC+∠EAC＝90°，∴∠PAC＝∠ABC．
（2）解：连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．
∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，
∵OM⊥BC，∴BM＝MC，弧BF=弧CF，∵OB＝OD，∴OM＝1/2CD＝1，
∵∠BAC＝∠BDC＝2∠ACB，弧BF=弧CF，
∴∠BDF＝∠CDF，∴∠ACB＝∠CDF，
∴弧AB=弧CF，∴AB＝CF＝2√3，
∵CM²＝OC²﹣OM²＝CF²﹣FM²，
∴x²﹣1²＝（2√3）²﹣（x﹣1）²，
∴x＝3或﹣2（舍弃），∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
