一、数据计量尺度

数据的计量尺度和具体的统计方法息息相关，大致分为3类，分别是名义测量、次序测量和连续变量测量。这三类测量 分别对应三种变量类型，即分类变量，顺序变量和数值变量。连续变量测量可以进一步细分为间距测量和比例测量。 间距测量和比率测量这两种测量，统计软件通常不做区分。大部分的模型都适用。

1.名义测量（nominal measurement）是最低的一种测量等级，也称定名测度。其数值仅代表某些分类或属性。比如， 用来表示性别（1或2）和民族（1、2、3…）等。这类变量一般不做高低、大小区分。

2.次序测量（ordinal measurement）的量化水平高于名义测量，用于测量的数值代表了一些有序分类。比如，用来 表示受教育程度高低的数字（1、2、3…）具有一定的顺序性。

3.间距测量（interval measurement）的量化程度更高一些，它的取值不再是类的编码，而是采用一定单位的实际测 量值。可以进行加减运算，但不能进行乘除运算，因为测量等级变量所取的0值，不是物理上的绝对0。比 如，考试成绩的零分，不能说这个学生一点英语能力也没有。

4.比率测量（ratio measurement）是最高级的测量等级，它除了具有间距测度等级的所有性质外，其0值具有物理上 的绝对意义，而且可以进行加减乘除运算。例如增长率、收入等。

二、数据描述

1.分类变量

对于分类变量，通常可以检查变量的众数、分类取值的百分比间的差别大小，有无太小的比例（异常值），主要的统计 量如下：

频次/频数：每个水平出现的次数；

百分比：每个水平出现的频数除以总数；

累积频次与累积百分比：仅对于次序型变量有意义，分别计算累积频次和百分比。

2.顺序变量

对于顺序变量，通常检查数据的众数、频次、百分比、累积频次与累积百分比、四分位差等。

3.连续变量

对于连续变量，通常检查中心水平、离散程度、偏度和峰度4个方面。 值得注意的是分类变量、顺序变量、连续变量的量化水平是由低到高的，低水平变量的统计量可以用于高水平，但高水 平变量的统计量不一定能用于低水平。例如分类变量的统计量可以用于连续变量，但反之则不一定成立。

4.连续变量——中心水平

能代表中心概念的可选统计量有均值、中位数和众数。

众数：出现次数最多的变量值，一组数据可能没有众数或有几个众数。例如：数据 23,4,4,5,5,7,8,23,78，其中4和5出 现了两次，则4和5都是众数。

中位数：排序后处于中间位置上的值，这里需要注意的是，一定要先排序。

这里的n表示数据数量。

例如，数据1，2，6，5，4，3。排序后为1，2，3，4，5，6，这里n=6，是偶数，所以该数据的中位数为(3+4) / 2=2.5。

5.连续变量——中心水平

四分位数：是另外一套表达变量位置信息的手段，其定义方式类似于中位数。中位数本身就是变量从大到小排序后， 50%对应的变量取值。如图：

这里的Q1称为下四分位数，Q3称为上四分位数，Q2就是中位数。

6.连续变量——中心水平（算术平均数）

样本平均数

总体平均数

这里的n是样本数据量， N是总体数据量，样本是用来估计总体的。一般样本用英文字母，而总体用希腊字母。

7.连续变量——中心水平（加权平均数）

样本加权平均

总体加权平均

这里的 x1,x2,…,xk 表示各组数据的组中值或数据本身， f1,f2,…,fk表示各组频数或数据的权重。

8.连续变量——中心水平（几何平均数）

适用于计算比率数据的平均，主要用于计算平均增长率。

各个中心水平度量的比较： 众数和中位数不易受到极端值的影响，平均数容易受到极端值的影响。众数和中位数适合在非对称情况下使用。众 数不是唯一的。

9.连续变量——离散程度

知道一个变量的中心水平统计量之后，还想知道这个指标到底有多大的代表性。如果这个变量的变化范围非常小， 甚至是常数，那么这个水平变量就非常有代表意义；如果这个变量的变化范围非常大，那么水平指标的代表性就相对下 降。如下表所示，列出了5个常用的离散程度度量指标。

10.连续变量——偏度

偏度用来刻画偏态的程度。偏态有两种情况：一种是如下图所示（左边）的左偏，该变量在负的方向部分严重拖尾；另 一种是如下图所示（右边）的右偏，在正的方向部分严重拖尾。在实际经济和商业数据分析中，右偏是比较普遍的状态。 比如，地区的居民收入、客户购买产品的数量、金额和保险理赔额。

11.连续变量——峰度

峰度反应的是变量向两边拖尾的情况。相比正态分布而言，如果一个变量是尖峰的，则必然会导致两边拖尾情况更严重， 反映到统计学中就会出现超过2倍标准差数值的概率会大于5%，超过3倍标准差数值的概率会大于1%。这表明出现较大 偏离值的可能性提高了。资产收益率的峰度在金融研究中是比较受关注的，这表明了该资产的风险分布情况，尾越厚， 风险越大。

三、统计图形

1.条形图

条形图是一个很好展现变量分布情况的方式，但是连续变量不可能做出条形图，因为连续变量如果精度足够大的话，每 个取值出现的频数应该只有一次。但是可以采用将连续变量分箱的方法做直方图。这样，每个柱代表一个分箱，柱高为 在这个分箱中的取值出现的次数或百分比，分箱的数量和间隔可以自定义，如下图所示：

2.盒须图

盒须图（又称箱线图）相对于直方图而言，提供的信息更精炼。它提供了中位数、均值、上下分位点的信息，这不但可 以了解变量的中心水平，还可以了解变量的变化范围。其中需要说明的是最大值和最小值，它们不是变量的最大值和最 小值。如图1-9所示，以盒须图中的最小值为例，从上分位点加上1.5倍的内分位距（IQR），该变量在这个范围内的最 大取值被称为最大值，超过1.5倍的内分位距的取值被称为离群值（异常值）。

3.玫瑰图

玫瑰图又称为南丁格尔玫瑰图。南丁格尔（Floarence Nightinggale），英国护士和统计学家。1883年，南丁格尔撰 写影响英国军队健康，效率和医院管理的资料中，她创造了一个非凡的原创图形展示方式（如下图所示），这张图显示 了人们在1854年7月至次年年底期间死亡的情况。 南丁格尔玫瑰图类似于饼图的变形，它可以用转角、扇形面积、以及颜色展现数据的不同维度。

四、例题精讲

1.在相同或近似相同的时间点上收集的数据称为（ ）。

A. 观测数据

B. 实验数据

C. 时间序列数据

D. 截面数据

答案：D 解析：A项观测数据指通过调查或观测而收集到的数据；B项实验数据是通过实验中控制实验对象 以及所处的实验环境不同而收集的数据；C项时间序列数据指在不同时间点上收集到的数据。

2.只能归于某一有序类别的非数字型数据称为（ ）。

A. 数值型数据

B. 数值型变量

C. 顺序数据

D. 分类数据

答案：C 解析：AB项都属于数字型的数据；D项数据代表一些无序类别；所以答案应该选 择C。

3.下列哪一个变量属于分类变量？

A. 年龄

B. 工资

C. 成绩等级（优、良、中、差）

D. 购买商品时的支付方式（现金、信用卡、支票）

答案：D 解析：AB项属于数值型变量；C项容易混淆，成绩本身属于数值型变量，划分为等 级后就代表了某一类别，但此时由于成绩等级有优劣关系，所以其属于顺序变量， 而非分类变量。

4.落在某一特定类别或组中的数据个数称为（ ）。

A. 频数

B. 频率

C. 频数分布表

D. 累积频数

答案：A 解析：B项频率由某一类的频数除以总频数得到；C项频数分布表是将各组的观测值个数形 成的表格形式；D项累积频数是将各有序类别或组的频数逐级累加起来得到的频数。

5.将比例乘以100得到的数值称为（ ）。

A. 频数

B. 百分数

C. 比率

D. 比例

答案：B

6.作为电商企业，以下哪个图可以有效地提供不同商品的销售和趋势情况？

A. 饼图

B. 分组直方图

C. 气泡图

D. 条形图和线图的组合图

答案：D 解析：不同商品的销售状况，一般是通过数量或金额的排名获得，条形图的计数 和百分比可以表达这个信息，而趋势通常看折线图，所以选D。饼图适合描述结 构性问题，直方图用于观测字段分布，气泡图用于观测字段间的相关。