在上篇文章《如何快速开平方根？》中，我向大家演示了如何在没有计算器的情况下，快速手算平方根。写完上篇文章之后我就在想，能不能把之前的方法推广到手算立方根？
这篇文章我们就来探索如何快速手算立方根。
在开始尝试之前，我先介绍一个公式：
。
有了这个公式，我们就可以开始尝试了，这里我用
、
进行尝试。
一、
如何快速开立方根？
我们先把
的实际数值展示出来，以便后面作对比：
=1.25992……
1、首先
在1和2之间，我们可以假设
=1+a，这里a是1个比1小的数字。
2、等式两边同时立方，可得：
。
3、因为a<1，所以
、
是一个比较小的数，我们可以将它们忽略掉。
4、等式就变为：2=1+3a，于是
。
5、
=1.33……=1.3。（取1位小数）
（这时1.3与
=1.25992……在小数点后第1位数上已知较为接近了）
6、如果想让结果精确些，我们可以用上面的方法重复一次。
7、再假设
=1.3+b，这里b是1个比1小的数字。
8、等式两边同时立方，可得：2=
。
9、因为b<1，所以
、
是一个比较小的数，我们可以将它们忽略掉。
10、等式就变为：
，于是b=-0.03886……。
11、
=1.3+b=1.3-0.03886……=1.26114……=1.26。（取2位小数）
（这时1.26与
=1.25992……在小数点后第2位数上已知较接近了）
12、如果想让结果再精确些，我们再重复上面的方法一次。
13、再假设
=1.26+c，这里c是1个比1小的数字。
14、等式两边同时立方，可得：
。
15、因为c<1，所以
、
是一个比较小的数，我们可以将它们忽略掉。
16、等式就变为：
，于是c=-0.0000789……。
17、
=1.26+c=1.3-0.0000789……=1.259921……=1.260。（取3位小数）
（这时1.260与
=1.25992……就非常接近了，如果我们大胆一点，取1.259921……小数点后5位数，得到的数值1.25992就与
=1.25992……是一致的）
二、
如何快速开立方根？
我们先把
的实际数值展示出来，以便后面作对比：
=2.351334……
1、首先
在2和3之间，我们可以假设
=2+a，这里a是1个比1小的数字。
2、等式两边同时立方，可得：
。
3、因为a<1，所以
、
是一个比较小的数，我们可以将它们忽略掉。
4、等式就变为：13=8+12a，于是
。
5、
=2.41……=2.4。（取1位小数）
（这时2.4与
=2.351334……在小数点后第1位数上已知较为接近了）
6、如果想让结果精确些，我们可以用上面的方法重复一次。
7、再假设
=2.4+b，这里b是1个比1小的数字。
8、等式两边同时立方，可得：
。
9、因为b<1，所以
、
是一个比较小的数，我们可以将它们忽略掉。
10、等式就变为：
，于是b=-0.047685……。
11、
=2.4+b=2.4-0.047685……=2.35231……=2.35。（取2位小数）
（这时2.35与
=2.351334……在小数点后第2位数上已知较接近了）
12、如果想让结果再精确些，我们再次重复上面的方法一次。
13、再假设
=2.35+c，这里c是1个比1小的数字。
14、等式两边同时立方，可得：
。
15、因为c<1，所以
、
是一个比较小的数，我们可以将它们忽略掉。
16、等式就变为：
，于是c=0.001335446……。
17、
=2.35+c=2.35+0.001335446……=2.351335446……=2.351。（取3位小数）
（这时2.351与
=2.351334……在小数点后第3位数上已知较接近了，如果我们大胆一点，取2.351335446……小数点后5位数，得到的数值2.35133就与
=2.351334……是一致的）
上面的方法，我们还可以进一步推广，用来开4次方根、5次方根、6次方根……
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