八下：矩形正方形的动点问题
原
题
再
现
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
探究：(1)线段OE与OF的数量关系并加以证明；
(2)当点O在边AC上运动时，四边形AECF会是矩形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．
(3)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
考
察
知
识
本题考察等腰三角形的性质与判定，平行四边形，矩形，正方形的判定方法的运用，并从多个角度去解决问题。
解
题
思
路
(1)线段OE与OF的数量关系并加以证明；
可得：∠1＝∠2；∠5＝∠1
即得：∠5＝∠2⇒OE＝OC
同理：∠6＝∠3⇒OF＝OC
⇒OF＝OE＝OC
（2）当点O在边AC上运动时，四边形AECF会是矩形吗？
方法1：利用对角线相等且平分的四边形是矩形。
加条件：O在边AC中点时，
则OA＝OC，
而OF＝OE＝OC
所以：OF＝OE＝OC＝OA
所以四边形AECF中，
OF＝OE且OC＝OA且EF＝AC
所以四边形AECF是矩形。
方法2：利用有一个角是直角的平行四边形是矩形。
加条件：O在边AC中点时，
所以：OF＝OE＝OC＝OA
所以四边形AECF平行四边形。
而∠2+∠3＝1/2平角＝90度
方法3：利用有一个角是直角的平行四边形是矩形。
加条件：O在边AC中点时，
所以：OF＝OE＝OC＝OA
所以四边形AECF平行四边形。
OF＝OE＝OC
则△EFC为RT△，∠ECF＝90度
（利用书中P4的二级结论可得）
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
前面已证明：加条件：O在边AC中点时，得到四边形AECF是矩形。
根据有一组邻边相等的矩形是正方形
可加条件：一组邻边EC＝FC
即相当于添加：RT△EFC中，∠4＝∠5＝45度
即∠1＝45度；∠2＝45度
即AC⊥BC
所以△ABC为RT△（∠ECF＝90度），矩形AECF变为正方形。
